【束縛条件まとめ4パターン】高校物理を図でわかりやすく解説

ハリボー

こんにちは！ハリボーです。

今回は、難関大学物理で出題が多い束縛(拘束)条件について解説していきます。この束縛(拘束)条件が解けるか解けないかで合否が決まるようなとっても重要な問題です。

この記事は次の項目に当てはまる方におすすめです。

・束縛(拘束)条件とは何か知りたい方
・束縛(拘束)条件を意識するタイミングが知りたい方
・動滑車に適用できる束縛条件の導出が知りたい方
・三角台運動に適用できる束縛条件の導出が知りたい方
・円運動に適用できる束縛条件の導出が知りたい方
・束縛条件におすすめの問題集を探している方

このような方の疑問に答えます！

本記事の内容

束縛条件ってなに？
束縛条件を立式するタイミングは？
動滑車の束縛
三角台の束縛
円運動の束縛(慶應理工 2021年)
複数糸の束縛(東工大 2016年)
束縛条件が学べる問題集

束縛条件ってなに？

物体はなんらかの影響によって運動が制限されることがあります。このように物体を制限している条件のことを束縛条件と言います。

ドユコト！？

では、具体的に下のような問題を考えてみましょう。これは動滑車によって物体の運動が制限されています。

滑車と糸の質量は無視できるものとし、重力加速度をgとする。図のように定滑車の一方に質量3mの重りAを、他方に動滑車を吊り下げて、動滑車には質量2mの重りBと質量mの重りCを吊り下げた。そして、A,B,Cを同時に静か離した。この時の重りA,B,Cの加速度をそれぞれ$ a_A , a_B , a_C$とし、動滑車の加速度を$a_P$とする。加速度$ a_A , a_B , a_C, a_P$間の関係式を求めよ。

問題で問われている関係式のことを束縛条件と呼びます。

え、、？

束縛条件って問題で与えられてる全ての条件な気がしてきたけども、、

ある意味、正解です！ただし、束縛条件とは特に運動方程式には反映させることができない条件のことを示します。

つまり、束縛条件は運動方程式に反映させることができないため、自分で物体間に存在する束縛を見つけて式を立てなくてはなりません。

束縛条件を立式するタイミングは？

答えは、数学の考え方と同様に『未知数が式の数より多い時』です。

束縛条件を利用する問題の解き方の手順は以下のようになります。

手順1 運動方程式を立てる
手順2 未知数と式の数をそれぞれ数える
手順3 未知数の方が多い場合は、束縛条件を立式する
手順4 連立方程式を解く

解き慣れてきた場合には、問題を見た瞬間に

束縛条件の問題だ..

とわかるようになるので、手順1の段階で立式できるようになるのが目標です。

では、束縛条件式の立て方を説明していきますね♪

これから問題演習に入ります。これ以降では、より問題を簡単に解くために、時間微分の考え方を利用します。

これは大学入試の記述でも全然使っていい真実なので、受け入れたもん勝ちですよ！

位置を時間微分すると、速度が求まる。
速度を時間微分すると、加速度が求まる。

物理で使用する時間微分の考え方は以下の記事を参考するのがおすすめです！

https://physnotes.jp/mechanics/motion

動滑車の束縛

この問題は上に挙げた問題と全く同じですが再掲しておきますね。

まず、以下のように変数を設定していきます。

では、早速拘束条件を求めてみましょう。糸の総長さは時間によって変化しないのは当たり前ですよね。しかし、運動方程式には組み込めないのでこれが束縛条件と呼ばれるものです！
この図から、糸1,2の長さはそれぞれ一定であることから、

$$(x_A-x_0)+(x_P-x_0)=l_1$$
$$(x_B-x_P)+(x_C-x_P)=l_2$$

が成立する。これら時間微分すると

$$v_A+v_P=0$$
$$(v_B-v_P)+(v_C-v_P)=0$$

さらに時間微分すると、同様にして

$$a_A+a_P=0$$
$$(a_B-a_P)+(a_C-a_P)=0$$

となる。これで拘束条件が求められましたね！

三角台の束縛

次に新しい問題として、三角台問題を考えます。

【問題】
重力加速度をgとし、空気の抵抗はないものとする。図のように断面が三角形ABCで滑らかな斜面ACを持つ台Qが滑らかな水平面上に置かれている。Qの質量をMとする。sh面が水平面とナスかくはθであり、斜面上に物体Pが置かれている。Pの質量をmとする。この時、PがQの斜面上をすべり落ちることから、台Qの加速度をA、Pの加速度の水平成分を$a_x$、鉛直成分を$a_y$、角度θの間に成り立つ関係式(束縛条件)を求めよ。

では、早速拘束条件を求めてみましょう。少し時間経過後の物体P、Qの様子を青線で描いています。右向きを正とした時、それぞれの変位は画像のようになります。

従って、幾何的な性質から

$$((-X)+(+x))tanθ=(-y)$$

が成立します。両辺を2階時間微分すると、

$$((-A)+(+a_x))tanθ=(-a_y)$$

となる。これで束縛条件が求められました！

円運動の束縛(慶應理工 2021年)

次に紹介するのは、慶應が多く出題する円運動と絡める束縛条件の問題です。この問題では、『どの視点から物体の運動を見るか』がポイントになってきます。円運動は地上から見た速度で成り立つのか、もしくは物体に乗って見た速度で成り立つのかしっかり考えていきましょう。

【問題】
図のように、逆U字型物体(質量M)と小球(質量M)が固定されずに置かれている。全ての摩擦はないとし、逆U字型物体の密度は一様な材質でできており、暑さも無視できるとする。小球を内壁の右端の床面から鉛直上向きに打ち上げると小球は物体の内壁に沿って半円筒の領域に入り、逆U字型物体は力を受けて水平方向に床を離れずに運動した。角度αの位置における小球の速度の大きさをvaとする時の束縛条件を求めよ。

ただし、右向きをx軸成分の正とする。また、小球を打ち出した方向をy軸成分の正とする。vaの水平成分をvx、鉛直成分をvyとする。

束縛条件にも慣れてきていると思うので、いきなり速度に注目して解いていきましょう。(位置座標から微分して速度を求めるのを省く)

早速注意点ですが、上の図の角度θは直角ではないということです。理由は小球は逆U字型物体から見ると円運動をしているが、地上から見ると円運動をしていないからです。詳しく言うならば速度vaは地上から見た速度なので、逆U字型物体の速度も含んでしまっているからです。

逆に言えば、逆U字型物体の速度を速度vaから除いて、逆U字型物体からみた速度にvaを変換するれば円運動として扱えます。

それでは、以上の点を頭の片隅に置いておいて、問題を解いていきましょう。まずは、vaの分解です。

次に、逆U字型物体の速度Vを速度vaから除いて、逆U字型物体からみた速度に変換し、円運動を出現させましょう。

図より、逆U字型物体からみた小球の水平成分の速度は、vx-Vとなります。
黄色の丸で囲った部分を拡大した図が下です。

この図から、

$$v_x – V = v_y tanα$$

となる。これで束縛条件が求められました！

複数糸の束縛(東工大 2016年)

東工大2016年度の問題を解いてみましょう。この問題は、束縛条件の知識がないと解けなくなる問題となっています。東工大はこういった糸による束縛を考える問題が出やすいです。（2021年第一問でも出題）

【問題】
図のように、水平で滑らかな床の上に立方体を置く。立方体と床の間に摩擦は働かないものとする。立方体の一面は壁と平行に向かい合っている。立方体の右上の辺の中点と壁の上端を質量の無視できる長さ2sの糸で繋ぎ、その中央に大きさが無視できる重りを取り付ける。

立方体の材質は一様で、その中心に重心があり、立方体の重心、糸、重りは常に同一鉛直面内にあるものとする。s<Lであり、重りが床と接触することはない。重りをたかさLまで持ち上げ、意図が弛まないように立方体の位置を調節した。その後重りを静かに離したところ、立方体は壁の方へ向かって滑り出した。ただし、運動と途中で立方体が傾いたり、糸がたるんだりすることはないものとする。

ではまたまた、束縛条件を求めてみましょう。少し時間経過後の物体の様子を青線で描いています。右向きを正とした時、それぞれの変位は画像のようになります。

ここで、重りは常に立方体右面と壁のちょうど中央に位置するように運動するので、

$$x – X = H – x$$

が成立します。両辺を2階時間微分し整理すると、

$$a_x – a_X = -a_x$$

これを変形すると、

$$2a_x = a_X$$

となる。これで束縛条件が求められました！

束縛条件が学べる問題集

以上の他にも束縛条件たテーマの問題は様々なものがあります。慶應の過去問をはじめ、東工大、早稲田、東大など難関大学にはお決まりのテーマですので、今回扱った基本的なテーマに関してはマスターしておきましょう！束縛条件を学べる問題集を二つ紹介しますね。どちらも難易度が高い問題集ですから、難関大学受験生で周りに差をつけたい方にかなりおすすめです。

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以上です！お疲れ様でした！！